1. 求$$\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^2 x} dx$$
2. 求$$\int_{-1}^{1} (\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} + x^2) \sqrt{1-x^2} dx$$
3. $$\int_0^1 \frac{dx}{1+(x+x^2+x^3+x^4+x^5+…)^{2024}}$$

Solution

1.

$$
\begin{flalign*}
& \int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^2 x} dx & \\
&= \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x – 2 + \cos^2 x) dx & \\
&= \int \sec^2 x dx – \int 2 dx + \int \cos^2 x dx & \\
&= \int \sec^2 x dx – \int 2 dx + \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx & \\
&= \tan x-2 x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C & \\
&= \tan x-\frac{3x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
\end{flalign*}
$$

2.

$$
\begin{flalign*}
& \int_{-1}^{1} (\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} + x^2) \sqrt{1-x^2} dx & \\
&= \int_{-1}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \sqrt{1-x^2} dx + \int_{-1}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx & \\
\end{flalign*}
$$

注意到前一个是奇函数，在$[-1,1]$上的积分为$0$

$$
\begin{flalign*}
& \int_{-1}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx & \\
&= 2 \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx & \\
&\text{Let } x = \sin \theta \text{, then } dx = \cos \theta \, d\theta & \\
&= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta & \\
\end{flalign*}
$$

接下来就有很多种计算方法了，下面的方法使用了**Wallis’s Formula**

$$
\begin{flalign*}
&= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \theta \, d\theta-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 \theta \, d\theta & \\
&= 2 \frac{(2-1)!!}{2!!} \cdot \frac{\pi}{2}-2 \frac{(4-1)!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} & \\
&= \frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{8} & \\
&= \frac{\pi}{8} &\\
\end{flalign*}
$$

最后一题就很简单了

3.

$$
\begin{flalign*}
&I=\int_0^1 \frac{dx}{1+(x+x^2+x^3+x^4+x^5+…)^{n}} & \\
&I=\int_0^1\frac{dx}{1+(\frac{x}{1-x})^n} & \\
&\text{(That’s because }\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+…\text{).}& \\
&I=\int_0^1 \frac{(1-x)^n}{(1-x)^n+x^{n}} dx & \\
\end{flalign*}
$$

注意到$x \in [0,1]$，且积分里出现了(1-x)，可以区间再现

$$
\begin{flalign*}
&I=\int_0^1 \frac{x^n}{x^n+(1-x)^n} dx & \\
\end{flalign*}
$$

注意到$I+I=1$，则$I=\frac{1}{2}$。